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向量减法有结合律吗?

2023-01-26 14:08:45 编辑:leo 浏览量:539

向量减法有结合律吗?

[编辑本段]向量的表示 1、代数表示:一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 2、几何表示:向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。) 3、坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 [编辑本段]向量的模和向量的数量 向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注: 1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的。 2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如,“向量AB向量CD”是没有意义的。 [编辑本段]特殊的向量 单位向量 长度为单位1的向量,叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0.零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b. 规定:所有的零向量都相等. 当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。 自由向量 始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量。 在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。 滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。 固定向量 作用于一点的向量称为固定向量(亦称胶着向量)。 位置向量 对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:向量P。 [编辑本段]相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a。有 -(-a)=a; 零向量的相反向量仍是零向量。 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a‖b. 零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定:零向量与任一向量平行. 平行于同一直线的一组向量是共线向量。 共面向量 平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。 空间中的向量有且只有一下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。 只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。 [编辑本段]向量的运算 设a=(x,y),b=(x',y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 4、向量的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律); (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律); 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 6、三向量的混合积 定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合积具有下列性质: 1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1) 2、上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c) 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号; ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号; ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a·b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.

标签:结合律,减法,向量

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